|
|
Философия и метафизика фрактальной геометрии.
Крымская сосна (слева) и искусственная фрактальная структура (справа) удивительно похожи.
Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции.
Х. О. Пайген и П. Х. Рихтер.
Геометрия, которую мы изучали в школе и которой пользуемся в повседневной жизни, восходит к Эвклиду (примерно 300 лет до нашей эры). Треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Однако в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например, лесные красавицы ели на какой-либо из перечисленных предметов или их комбинацию? Далее>>>Легко заметить, что в отличие от форм Эвклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями. "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности", - этими словами начинается "Фрактальная геометрия природы", написанная Бенуа Мандельбротом. Именно он в 1975 году впервые ввел понятие фрактала - от латинского слова fractus, сломанный камень, расколотый и нерегулярный. Оказывается, почти все природные образования имеют фрактальную структуру. Что это значит? Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части и т. п., то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково. Фракталы самоподобны - их форма воспроизводится на различных масштабах.
Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение и в информационных технологиях, например, для синтеза трехмерных компьютерных изображений природных ландшафтов, для сжатия (компрессии) данных. Далее мы убедимся, что понятие фрактала тесно связано с еще одним не менее любопытным явлением - хаосом в динамических системах.
Детерминированность и хаос Далее >>>ХАОС (греч. caos) - в греческой мифологии беспредельная первобытная масса,
из которой образовалось впоследствии
все существующее. В переносном смысле - беспорядок, неразбериха.
Энциклопедия
Кирилла и Мефодия
Когда говорят о детерминированности некой системы, имеют в виду, что ее поведение характеризуется однозначной причинно-следственной связью. То есть, зная начальные условия и закон движения системы, можно точно предсказать ее будущее. Именно такое представление о движении во Вселенной характерно для классической, ньютоновской динамики. Хаос же, напротив, подразумевает беспорядочный, случайный процесс, когда ход событий нельзя ни предсказать, ни воспроизвести. Что же представляет собой детермини рованный хаос - казалось бы, невозможное объединение двух противоположных понятий? Далее >>>Возникновение теории фракталов.
Отцом фракталов по праву можно считать Бенуа Мандельброта. Мандельброт является изобретателем термина «фрактал». Мандельброт писал: « Я придумал слово «фрактал», взяв за основу латинское прилагательное «fractus», означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный». Первое определение фракталам также дал Б.Мандельброт: Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.
Модель Мандельброта.
Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.
Математическое описание модели следующее: на комплексной плоскости в неком интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция Z=Z2+c. Казалось бы, что такого особенного в этой функции? Но после N повторений данной процедуры вычисления координат точек, на комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура, чем-то напоминающая грушу.
Посмотрим, как она реализуется графически. Начальная точка модели равна нулю. Графически она соответствует центру тела “груши”. Через N шагов заполнятся все тело груши и в том месте, где закончилась последняя итерация, начинает образовываться «голова» фрактала. «Голова» фрактала будет ровно в четыре раза меньше тела, так как математическая формула фрактала представляет из себя квадратный полином. Затем опять через N итераций у «тела» начинает образовываться «почка» (справа и слева от «тела»). И так далее. Чем больше задано числе итераций N, тем более детальным получится изображение фрактала, тем больше будет у него различных отростков. Взято отсюда >>>
При рассматривании анимированного увеличения масштаба модели Мандельброта поражает, как простая математическая формула ведет к появлению совершенно фантастических по разнообразию фигур. Можно увидеть спирали, реки, горы, цветы, галактики, листья, перья, всего не перечислить. Кому интересно посмотреть, как программа в 120 килобайт покажет вам фантастический мир, загрузите крохотный файл, распакуйте и удивляйтесь. Разумеется, никакой инсталляции она не требует. Скорость путешествия будет зависить от быстроты вашего "железа". Картина займет весь экран, для возвращения на это окно используйте Alt+Tab. Совершенно потрясающе подходит в качестве Screensaver'а.
http://rapidshare.com/files/31757241/mandel.zip
Философия и метафизика фракталов.
Научное построение, взятое само по себе, не отображает бытия, и поэтому надо пройти мимо него, но оно указывает на бытие, на онтологическое обстояние дел, которое имеет смысл для человеческого присутствия в мире и лежит за пределами научной схемы;
следовательно, надо встать «посреди наук», с тем чтобы увидеть в них указатели поиска фундаментальных характеристик человеческого бытия в мире. А это и значит научиться мыслить «посреди наук», не питая презрения к ним, столь свойственного иным философским направлениям
Далее >>>Перейдем к обсуждению вопросов, касающихся ситуации освоения познающим существом как самого себя, так и того, что принято называть «внешняя реальность». А именно, речь идет о пронизывающей любую жизненную ситуацию процедуре наблюдения. В этом, казалось бы, достаточно обыденном и прозаичном акте скрещивается множество различных проблем, рассмотрение которых каждый раз вынуждает проводить очередную ревизию ценностных установок исследователя. В проблеме наблюдения сталкиваются и физиология чувственного восприятия, и феноменальная данность мира, и условия, обеспечивающие возможность теоретического отношения к этому миру.
Взято отсюда >>>Метафизика измерения.
Все разговоры о делокализации, становлении и процессуальности форм фрактальной концепции были бы только качественными метафорами, если бы фрактальная концепция не предложила способ количественной оценки нелинейных структур.
Центральным понятием, из которого, на наш взгляд, первоначально "выросла" фрактальная "идеология", было понятие размерности - числа измерений, с помощью которых можно задать положение точки на геометрическом объекте. Причем, первоначальное - "неправильное" - определение-затравка фрактала через размерность Хаусдорфа-Безиковича сыграло свою конструктивную роль, родив новые научные интерпретации форм. Еще интереснее >>> В свое время бурные дискусси вызвал переход в "многомерие" - от плоскостей с размерностью два и евклидовых пространств с размерностью три к менее представляемым n-мерным абстракциям. Достаточно сложно себе представить четырех, пяти или шестимерное пространство. Представить сложно, а вот формализовать и исследовать геометрических "жителей" такого пространства гораздо легче. Но для этого к подобного рода пространствам надо как-бы привыкнуть, включить в свои интерпретационные механизмы.
Подобная эпистемологическая ситуация, на наш взгляд, происходит сейчас с концепцией фрактала. Взято отсюда >>>
... В свете выдвинутой двуслойной картины мира и нам следовало бы выйти из привычного трехмерного пространства в более высокую "метагеометрию" следующего измерения. К этому побуждает все вышеизложенное и еще одна, так сказать, "обиходная" трактовка нашей теоремы: "ни одну реальность нельзя понять из нее самой, не выйдя к принципам, не содержащимся в ней"...
Непреодолимые трудности наглядного представления объектов 4-х-мерного пространства, на которые обычно сетуют, снова и снова наводят на мысль о его сверхбытийном, духовном статусе. Создается впечатление, что мыслимая 4-геометрия настолько же богаче и объемлюща в сравнении с нашим 3-х-мерием, насколько, скажем, стеореометрия превосходит планиметрию. Этот параллелизм на самом деле более глубок, чем может показаться, и поэтому стоит остановиться на нем более подробно.
Вообразим себе фантастическую плоскую страну Флатландию, населенную "двумерцами" [3]. С нашей точки зрения они ведут довольно убогое существование. Для каждого "плоскатика" все его сородичи, будучи некими замкнутыми фигурами, представляются "с торца" как унылые одномерные линии. Никто не знает ни своего внутреннего устройства, ни общей организации или какой-то преобладающей симметрии.
Но жизнь Флатландии сразу проясняется и осмысливается извне - при взгляде из недоступного для двумерцев 3-го измерения, т.е. из нашего мира. Оттуда, почти по Геделю, обозревается полная картина как "анатомического строения" самих жителей, так и структура "межличностных и общественных связей". Если, допустим, сверху просматривается дальний порядок, то уместно говорить о некой всеобщей и целесообразной организации Флатландии. Однако последняя едва ли способна сама созреть в головах несчастных плоскатиков, сидящих в своем двумерии и не представляющие, что такое "верх" или "низ".
Вообще, непостижимой для них будет любая проекция на их мир объемных тел. Другими словами, целостность этих фигур никак не улавливается по их следам и навсегда скрыта от "блинообразных" обитателей двумерия. И вот оказывается, наш мир точно также открыт для 4-го измерения, как плоский - для третьего. Ничего не стоит, например, вывернуть наизнанку гибкую сферу, не разрывая ее на части; трансформировать, выведя в 4-е измерение, левую перчатку в правую. Мы без труда добираемся до содержимого яйца или ореха, не разрушая их скорлупы, и т.д. Наконец, в четырехмерии не возникает проблем и с узлом на замкнутой или бесконечно протяженной нити.
Все упомянутые парадоксальные манипуляции могут по наивности показаться выполнимыми в "метагеометрии" из-за наличия там "достаточного места". Но строго геометрически они реализуемы, если допустить, что точка может двигаться по прямой "перпендикулярно нашему пространству" и внутри сферы, одинаково удаляясь от всех ее точек. А это есть не что иное как устремление в глубину, о которой, как четвертом измерении, говорил еще Апостол Павел (Ефес. 3:18), а известный математик и философ Герман Вейль (1885-1955) считал, что ею обладает математический континуум да и наше физическое пространство (!). Материалисты же, не улавливая духовного оттенка глубины, упорно настаивают на "неисчерпаемости материи вглубь"...
А что если в 4-пространстве с легкостью не только распускаются буквальные узлы, но завязываются и развязываются "онтологические нити", управляющие гармонией нашего мира?... Вообразив себе двумерные существа обитающие на плоскости и неспособные воспринять 3-е измерение, а тем более геометрию 3 пространства, мы начинаем догадываться о том, в каком отношении мы сами, в свою очередь, можем находиться к 4 пространству.
Теперь наше родное трехмерие представляется оптимальным лишь для объемных замкнутых структур, занимая промежуточное положение между избыточно богатым четырехмерием и чрезвычайно бедным двумерием. Таким образом, только поднимаясь, по аналогии с теоремой Геделя, на следующий "геометрический уровень", мы понимаем, почему наше пространство трехмерно. Оно предназначено для органической жизни, совмещающей в себе дух и материальную оболочку, причем источник всего сущего находится этажом выше. Именно там господствует безэнтропийная мысль, несущая саму жизнь как таковую.
Рассматривая одновременно 4 и 3 пространство и считая второе вложенным в первое, мы с необходимостью приходим к их единству, могущему быть основанным, вероятнее всего, на их общей целостной организации. И тут мы извлекаем наконец заключительный аккорд всего изложения. Еще интереснее >>>
А теперь для тех, кто дочитал до конца супер видео! Смотрите на YouTube, великолепный фильм. Эта самая модель Мандельброта увеличивается за пределы размеров Вселенной. Там много еще. Для тех кому скорость соединения не позволяет смотреть видео online, я нашел гифку размером всего 22 Mb. Разрешение ее, конечно, не такое и цвета победнее и музыки нет. Мегааплод.
Последний раз редактировалось svengali; 17.05.2007 в 12:01..
|